微积分 1 第 1 章：函数——定义域优先与四类基本初等函数

函数这一章在教材里最容易被当成"高中复习"跳过，但它其实是整门课的地基：极限讨论的是函数在一点附近的行为，导数讨论的是函数的变化率，积分讨论的是曲线下的面积——这些对象全都定义在某个集合上，定义域错了，后面每一步都错。这一章真正要练的是三个动作：看见一个式子能立刻写出它的定义域；看见一个函数能判断它的对称性与单调性；看见一个复合函数能拆回基本初等函数。这三件事熟了，后面做极限题才不会在第一步就翻车。

一、函数的定义与两个要素

设 D 是非空实数集。若对每个 x ∈ D，按某个对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在 D 上的函数，记作 y = f(x)，x ∈ D。D 叫定义域，集合 {y | y = f(x), x ∈ D} 叫值域。

定义里有两个词要抠：

• 唯一：一个 x 只能配一个 y。所以 y² = x 不构成函数（一个 x 对应两个 y），而 y = √x 构成函数。
• 非空：定义域不能是空集，否则根本没有讨论对象。

判断两个函数是否相同，只看定义域相同且对应法则相同，与自变量用哪个字母无关。y = f(x) 与 s = f(t) 是同一个函数；但 y = ln x² 与 y = 2ln x 不是同一个，前者定义域是 x ≠ 0，后者是 x > 0。这种"化简改变定义域"的题是选择题的固定陷阱。

表示方法有三种：解析法（公式，便于运算与求导）、表格法（实验数据、查表）、图像法（一眼看出趋势与极值位置）。分段函数是用解析法写出的一个函数，不是几个函数：它的定义域是各段定义域的并集，求值时先判断 x 落在哪一段，再代入对应表达式。

二、定义域与值域的确定

求定义域本质上就是解一组不等式，依据只有四条：

结构	限制条件
分式 1/g(x)	g(x) ≠ 0
偶次根式 √g(x)	g(x) ≥ 0
对数 log_a g(x)	g(x) > 0
反三角 arcsin g(x)、arccos g(x)	−1 ≤ g(x) ≤ 1

此外 tan x 要求 x ≠ π/2 + kπ。多个结构同时出现时取交集，最后写成区间或集合。

复合函数的定义域最容易错。若已知 f(x) 的定义域是 [a, b]，求 f(g(x)) 的定义域，正确做法是解 a ≤ g(x) ≤ b，而不是先求 g(x) 自己的定义域。两层限制都要满足，取交集。

值域的求法按函数形态选：

1. 单调性法：先确定区间上的单调性，端点值就是值域端点。这是最通用的一种。
2. 配方法：二次函数或可化为二次的，配方后看顶点与开口。
3. 换元法：含 √(ax+b) 的令 t = √(ax+b)，把问题转成二次函数。
4. 基本不等式：x > 0 时 x + 1/x ≥ 2，注意等号成立条件。
5. 反函数法：解出 x = f⁻¹(y)，反函数的定义域就是原函数的值域。

三、单调性、奇偶性与周期性

单调性的严格定义：区间 I 上任意 x₁ < x₂ 都有 f(x₁) < f(x₂)，则 f 在 I 上严格递增；反之递减。判断手段有三条：定义法作差（f(x₁) − f(x₂) 定号）、复合函数"同增异减"、以及后面要学的导数符号。注意单调性是区间性质，说"f 在定义域上单调"必须先确认定义域是一个区间——y = 1/x 在整个定义域上并不单调。

奇偶性的第一句话永远是：定义域必须关于原点对称。这是前提，不是结论。定义域不对称就直接判"非奇非偶"，不用算 f(−x)。在对称的前提下，f(−x) = f(x) 为偶函数，图像关于 y 轴对称；f(−x) = −f(x) 为奇函数，图像关于原点对称。两个常用推论：奇函数若在 x = 0 处有定义，则 f(0) = 0；奇函数在对称区间上的定积分为 0（第 5 章会用到）。

周期性：存在 T > 0，使对定义域内每个 x 都有 f(x + T) = f(x)，则 f 为周期函数，最小的这样的 T 叫最小正周期。sin x、cos x 的周期是 2π，tan x 是 π。周期函数的定义域必须是无界的，所以在 [0, 10] 上谈周期性没有意义。

性质	判据	常见误判
单调性	区间内任取两点比较，或导数定号	把分段单调当成整体单调
奇偶性	先验定义域对称，再算 f(−x)	忽略定义域，直接代入
周期性	f(x+T) = f(x) 恒成立	认为周期一定唯一、一定存在最小正周期

四、四类基本初等函数

函数	表达式	定义域	值域	单调性	定点
幂函数	y = x^α	随 α 变	随 α 变	α > 0 在 (0, +∞) 增	过 (1, 1)
指数函数	y = a^x (a > 0, a ≠ 1)	R	(0, +∞)	a > 1 增，0 < a < 1 减	过 (0, 1)
对数函数	y = log_a x	(0, +∞)	R	a > 1 增，0 < a < 1 减	过 (1, 0)
三角函数	sin x、cos x、tan x	各自不同	sin/cos 为 [−1, 1]	分段单调	sin 过原点

幂函数的定义域最不统一，必须逐个看：x^(1/2) 只对 x ≥ 0 有定义，x^(−1) 不含 0，x^(2/3) 对全体实数有定义（因为先开三次方）。不要背一张表，要看指数的分母是奇数还是偶数。

指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线 y = x 对称，这是理解两者性质对应关系的钥匙：指数的值域 (0, +∞) 就是对数的定义域，指数过的点 (0, 1) 换成对数就是 (1, 0)。底数 a 的取值把两者各自劈成"增""减"两族，且同底的指数与对数在 a > 1 时都增，在 0 < a < 1 时都减。

三角函数里要记牢三件事：sin x 是奇函数、cos x 是偶函数、tan x 是奇函数且周期为 π（不是 2π）；|sin x| ≤ 1、|cos x| ≤ 1 给出有界性，这就是"有界函数乘无穷小仍是无穷小"那条定理最常用的载体；反三角函数的值域是被人为限定的主值区间——arcsin 取 [−π/2, π/2]，arccos 取 [0, π]，arctan 取 (−π/2, π/2)，限定的目的正是让反函数单值。

易错点

1. 判断奇偶性不看定义域。f(x) = x² 在 [−1, 2] 上既不是奇函数也不是偶函数，尽管式子是偶的。
2. 复合函数定义域只解内层。已知 f 的定义域求 f(g(x))，要解 g(x) 落在 f 的定义域内。
3. 化简时扩大或缩小了定义域。约分、用对数运算法则、开方，都可能悄悄改掉定义域。
4. 认为周期函数一定有最小正周期。常数函数是周期函数，但没有最小正周期。
5. 把 tan x 的周期记成 2π，或把 arctan 的值域记成全体实数。

这一章在整门课里的位置

本章不依赖前面任何内容，是整门课的起点。第 2 章把"函数在一点附近趋于某个值"这件事用 ε-δ 语言精确化，第 3、4 章在这个语言上建立运算规则；再往后求导要求先看定义域与单调性，积分要求先确认被积函数在区间上连续。可以说后面每一章都在反复调用本章的三样东西：定义域、对称性、基本初等函数的图像。

本文是《微积分 1：函数与极限》第 1 章的知识点摘要。完整板书与例题见 课程页；下一章 极限的定义。