微积分 1 第 2 章：极限的定义——ε-δ 语言与左右极限判定

极限这一章是微积分真正的门槛。前面讲函数，说的是"对应关系"；从这里开始，研究对象变成"当自变量越来越靠近某点时，函数值越来越靠近什么"。教材上那串 ε、δ、N 之所以让人发怵，是因为它把一句很直觉的话翻译成了量词堆叠。读定义的诀窍是把它当成一场博弈：对方给一个任意小的误差 ε，你总能找出一个范围（N 或 δ），保证进了这个范围之后误差小于 ε。你赢，极限就存在。这一章学完，应该能自己写出四种极限过程的定义，并能用左右极限判断分段函数在分界点处的极限是否存在。

一、数列极限：从"无限接近"到 ε-N

数列 {aₙ} 以 a 为极限，记作 lim(n→∞) aₙ = a，定义是：

对任意给定的 ε > 0，总存在正整数 N，使得当 n > N 时，恒有 |aₙ − a| < ε。

三个成分各有分工。ε 是任意的，代表"你想要多精确"；N 依赖于 ε，ε 越小 N 通常越大，所以 N 不能写成固定的数；n > N 是"此后所有项"，不是"存在某一项"。几何上，这意味着区间 (a − ε, a + ε) 之外最多只有有限项——这条几何解释在证明题里比定义本身好用。

收敛数列有三条基本性质：

• 唯一性：极限若存在则唯一。
• 有界性：收敛必有界；反之不成立，aₙ = (−1)ⁿ 有界但发散。
• 保号性：若 lim aₙ = a > 0，则从某一项起所有 aₙ > 0。

还有一条极常用的判别工具：若数列收敛于 a，则它的任意子列也收敛于 a。逆否命题更实用——只要能找出两个子列收敛到不同的值，原数列就发散。(−1)ⁿ 的偶数项趋于 1、奇数项趋于 −1，所以发散，这就是标准证法。

二、函数极限：ε-δ 与 ε-X

x → x₀ 时的极限：lim(x→x₀) f(x) = A 指

对任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < |x − x₀| < δ 时，恒有 |f(x) − A| < ε。

注意 0 < |x − x₀| 这个不等式：它把 x = x₀ 这一点挖掉了，叫去心邻域。也就是说，f 在 x₀ 处有没有定义、取什么值，与极限完全无关。这不是疏忽，而是极限这个概念的设计意图——它只关心"趋近过程"，不关心"到达那一瞬"。

x → ∞ 时的极限换成：对任意 ε > 0，存在 X > 0，当 |x| > X 时 |f(x) − A| < ε。这里控制"多远"的量从 δ 换成了 X，逻辑结构完全一样。

四种过程的定义对照：

过程	控制量	条件	结论
n → ∞	N（正整数）	n > N	|aₙ − a| < ε
x → x₀	δ > 0	0 < |x − x₀| < δ	|f(x) − A| < ε
x → x₀⁺	δ > 0	x₀ < x < x₀ + δ	|f(x) − A| < ε
x → ∞	X > 0	|x| > X	|f(x) − A| < ε

三、左极限与右极限

只从左侧趋近得到左极限 f(x₀⁻)，只从右侧趋近得到右极限 f(x₀⁺)。核心结论只有一条：

lim(x→x₀) f(x) 存在 ⟺ 左极限与右极限都存在且相等。

这条定理是分段函数在分界点处求极限的唯一正确工具，也常用于含绝对值和"两侧行为完全不同"的函数。两个经典例子：

• f(x) = |x| / x，在 x → 0 时左极限为 −1、右极限为 1，故极限不存在。这个函数在 0 处无定义，两侧符号相反，"绝对值把符号信息吃掉了"。
• f(x) = e^(1/x)，x → 0⁺ 时 1/x → +∞，函数值趋于 +∞；x → 0⁻ 时 1/x → −∞，函数值趋于 0。左极限是 0（存在且有限），右极限是无穷大，按定义右极限不存在，因此整体极限不存在。同一族的还有 arctan(1/x)，左右极限分别是 −π/2 与 π/2。

判断顺序应该是：先看是不是分界点或特殊点，是就立刻分左右，不要急着套公式。

四、无穷大与无穷小

无穷小是极限为 0 的变量，不是一个很小的数，更不能理解成"负无穷"。0 是无穷小（常函数 0 的极限是 0），但无穷小不一定是 0。

无穷大的定义是：对任意 M > 0，总存在相应的时刻，使得此后 |f(x)| > M。要强调的是，无穷大意味着极限不存在，"lim f(x) = ∞"只是一种记号，用来描述发散的方式，不能把 ∞ 当成一个数参与四则运算。

两者有一条对称关系：在同一趋近过程中，f 是无穷大 ⟺ 1/f 是无穷小（要求 f ≠ 0）。这条关系把无穷大的问题全部转成无穷小的问题。

无穷小的运算有三条要记：

1. 有限个无穷小之和、之积仍是无穷小。
2. 有界函数乘无穷小仍是无穷小。这条最有用：x·sin(1/x) 在 x → 0 时，sin(1/x) 有界、x 是无穷小，故乘积趋于 0，根本不需要管 sin(1/x) 自己有没有极限。
3. 常数与无穷小之积仍是无穷小。

两个无穷小之比才需要分阶：β/α → 0 说 β 是 α 的高阶无穷小，→ ∞ 是低阶，→ c ≠ 0 是同阶，→ 1 是等价。这套语言在第 4 章会变成最主要的计算工具。

五、极限的几何意义

数列极限的几何图像是：在直线 y = a 上下各画出 ε 宽的一条带子，无论带子多窄，带子外面只剩有限个点，从某一项之后所有点都落进带内。

函数极限的几何图像是：在 y = A 上下各取 ε，得到一个水平带；总能找到 x₀ 的一个去心 δ 邻域，使得这个邻域内的整段曲线都夹在带子里。带子越窄，邻域通常越小，但总能找到。

"去心"两个字在这里显出意义：曲线在 x₀ 处可以是一个空洞（函数无定义），也可以是一个高高跳起的孤立点（函数值不等于极限值），都不影响带子把邻域内的曲线罩住。连续的要求则多一条——那个孤立点必须正好落在带上，即极限值等于函数值。这就是下一门课讲连续时反复引用的差别。

易错点

1. 把 δ 写成与 ε 无关的常数。δ 必须是"对给定 ε 存在"的量，通常随 ε 变小而变小。
2. 认为 f 在 x₀ 无定义就没有极限。极限与 f(x₀) 无关。
3. 把"lim f(x) = ∞"当成极限存在。它是发散的一种描述。
4. 由有界推出收敛。(−1)ⁿ 是标准反例。
5. 判断分段点极限时只算一侧，或算出两侧相等却忘了先确认两侧都存在且有限。
6. 无穷小与"很小的数"混为一谈，写出"无穷小 = 0.000001"这种句子。

这一章在整门课里的位置

本章直接建立第 1 章的函数语言之上：定义域决定在哪些点可以谈极限，基本初等函数的图像决定极限的直观预期。第 3 章在本章定义的基础上证明四则运算法则并引出两个重要极限，第 4 章把"无穷小的阶"发展成等价替换、把"0/0 型"发展成洛必达法则。整个微积分后续的连续性、导数、定积分，定义方式都是本章这套 ε 语言的翻版。

本文是《微积分 1：函数与极限》第 2 章的知识点摘要。完整板书与例题见 课程页；上一章 函数，下一章 极限的运算法则。