微积分 1 第 3 章：极限的运算法则——四则运算与两个重要极限

第 2 章给出了极限的定义，但没人会拿 ε-δ 去算每一道题。这一章的任务是把定义变成可操作的算法：四则运算法则解决"已知各部分的极限，怎么求整体的极限"，两个重要极限解决"运算法则失效时怎么办"。真正的难点不在公式本身，而在判断"这一步能不能用"——四则法则要求两个极限都存在且有限，一旦遇到 0/0 或 1^∞，法则当场失效，必须换工具。学会先给题目定型、再选方法，比记住十个公式有用得多。

一、极限的四则运算法则

若在同一趋近过程中 lim f(x) = A、lim g(x) = B 都存在且为有限数，则

• lim [f(x) ± g(x)] = A ± B
• lim [f(x) · g(x)] = A · B
• lim f(x) / g(x) = A / B，要求 B ≠ 0

由此可推出：lim [c·f(x)] = cA，lim [f(x)]ⁿ = Aⁿ（n 为正整数），以及多项式与有理函数在连续点处可以直接代入——这解释了为什么 lim(x→2)(x² + 3x) 只需把 2 代进去。

前提那半句话是整章最容易忽略的地方。两个常见失效场景：

1. 某一项极限不存在。写 lim (1/x − 1/x) = lim 1/x − lim 1/x 是错的，因为 lim 1/x 本身不存在（x → 0 时）。原式恒等于 0，极限就是 0。
2. 出现不定式。0/0、∞/∞、0·∞、∞ − ∞、1^∞、0⁰、∞⁰ 这七种形态，四则法则一个都处理不了，必须先变形。

初等变形手段按形态选：0/0 型的有理式因式分解约去零因子；含根式的分子或分母有理化；∞/∞ 型的有理式分子分母同除最高次幂；∞ − ∞ 型先通分或有理化。这些手段的共同目标只有一个——把不定式变成定式。

二、第一个重要极限

lim(x→0) sin x / x = 1

证明思路是夹逼：在单位圆中取圆心角 x（0 < x < π/2），比较三角形、扇形、三角形的面积，得到 sin x < x < tan x，同除 sin x 得 1 < x/sin x < 1/cos x，由 lim cos x = 1 与夹逼准则即得。这个不等式本身也值得记住，它是后面证明 sin x 的导数为 cos x 的依据。

使用要点只有两条：结构必须是 sin(□)/□，且 □ → 0。三点提醒：

• 系数可以调：lim(x→0) sin 3x / x = lim 3·(sin 3x)/(3x) = 3。
• x → ∞ 时 lim sin x / x = 0，因为 sin x 有界、1/x 是无穷小，用的是"有界乘无穷小"，不是第一个重要极限。
• lim(x→0) sin x / x² 不存在（趋于无穷），别套公式。

由它可以直接派生出几个常用结果：lim(x→0) tan x / x = 1（因为 tan x = sin x / cos x，而 cos x → 1）、lim(x→0) arcsin x / x = 1（令 t = arcsin x 换元）、lim(x→0) (1 − cos x)/x² = 1/2（用 1 − cos x = 2sin²(x/2)）。这几个结果在第 4 章会以等价无穷小的形式重新出现——等价替换表里的一阶项，全部是第一个重要极限的变形。

三、第二个重要极限

lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e，等价形式 lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e

这里的 e 是一个确定的常数，e ≈ 2.718281828，它是数列 (1 + 1/n)ⁿ 单调递增且有上界的极限，这个存在性由单调有界准则保证，不是算出来的。

识别特征是 1^∞ 型：底数趋于 1，指数趋于无穷。处理办法是"凑"——把底写成 (1 + 1/u) 的形式，让指数恰好是 u 的倍数，多出来的部分作为指数上的常数留下：

题目	凑法	结果
lim (1 + 2/x)ˣ	u = x/2	e²
lim (1 − 1/x)ˣ	u = −x	e⁻¹
lim (1 + 3x)^(1/x)	u = 1/(3x)	e³
lim (1 + 2x)^(1/(3x))	指数乘 (2x)·1/(3x)	e^(2/3)

一般规律：若底为 1 + α(x)、指数为 β(x)，且 α → 0、β → ∞，则极限为 e^(lim αβ)（当 lim αβ 存在时）。这条捷径在 1^∞ 型上几乎通吃。

四、夹逼准则与单调有界准则

夹逼准则：若在某个去心邻域内 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g = lim h = A，则 lim f = A。它适用于"函数本身没有简单表达式，但能被两个已知极限夹住"的场合，sin x / x 与 (1 + 1/x)^x 的收敛性都靠它。

单调有界准则：单调递增且有上界（或单调递减且有下界）的数列必收敛。它的价值在于只判定存在性，不给出极限值——递推数列 aₙ₊₁ = f(aₙ) 的题几乎都走这条路：先用归纳法证有界与单调，得到极限存在，再对递推式两边取极限解出 A。

五、综合例题精讲

四道题对应四种典型形态，注意每步"为什么可以这么做"。

例 1（∞/∞ 型，同除最高次） lim(x→∞) (3x² + 2x − 1) / (x² − 5)。分子分母同除 x²，得 (3 + 2/x − 1/x²)/(1 − 5/x²) → 3/1 = 3。结论可一般化：有理函数在 x → ∞ 时，看分子分母最高次幂——分子次数高则发散，分母高则极限为 0，同次则等于最高次项系数之比。

例 2（0/0 型，因式分解） lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1) = lim (x + 1) = 2。约分合法，因为 x → 1 的过程中 x ≠ 1，约掉 (x − 1) 不改变极限。

例 3（0/0 型，有理化） lim(x→0) (√(1 + x) − 1)/x，分子分母同乘 √(1 + x) + 1，分子变成 x，约去 x 后得 1/(√(1 + x) + 1) → 1/2。

例 4（∞ − ∞ 型，有理化） lim(x→∞) (√(x² + x) − x)，同乘共轭式得 x/(√(x² + x) + x)，分子分母同除 x 得 1/(√(1 + 1/x) + 1) → 1/2。

注意例 4 里同除 x 时，x > 0 才能把 x 写成 √(x²)；若题目是 x → −∞，则 x = −√(x²)，结果变成 −1/2。根号与符号的这层关系是 ∞ − ∞ 型最常见的失分点。

六、逆向题：由极限反求参数

这是考试高频、教材却着墨很少的一类：给出极限值，反求式中的未知常数。基本套路是"先算能算的，再让剩下的部分对号入座"。

类型一：已知 lim(x→0) sin(ax)/x = 3，求 a。 把式子凑成标准形：(sin ax)/x = a · sin(ax)/(ax) → a，所以 a = 3。这类题的关键是把系数提到极限号外，剩下的部分凑成重要极限的形状。

类型二：分母趋零而极限有限。 已知 lim(x→1) (x² + ax + b)/(x − 1) = 3，求 a、b。

第一步不是算，而是推理：分母 x − 1 → 0，若分子趋于非零常数，商必发散；既然极限是有限数 3，分子必须也趋于 0。于是 1 + a + b = 0，即 b = −1 − a，两个未知数压成一个。第二步把 b 代回，分子化为 x² + ax − 1 − a = (x − 1)(x + 1 + a)，约去零因子后极限为 2 + a = 3，得 a = 1、b = −2。

"分母趋零 + 极限有限 ⇒ 分子趋零"这条推理是含参极限的万能第一步，几乎所有同类题都从它开始。它的逆否形式同样有用：若分母趋零而分子不趋零，则极限必不存在。

易错点

1. 在极限不存在时拆开用四则法则，把"不存在"当成"可以分配"。
2. 把 lim sin x / x = 1 套到 x → ∞ 上，或在 sin 后面不是同一个量时硬套。
3. 1^∞ 型直接写 1。底趋近 1、指数趋无穷，是"1 的无穷次方"的竞争，结果可以是任意正数。
4. 分子分母同除最高次幂时，根号内外的次数处理错，比如把 √(x²)/x 写成 1 而不分 x 的正负。
5. 用夹逼准则时只验证了一侧的界，或两端的极限并不相等。

这一章在整门课里的位置

本章把第 2 章的 ε 定义转化为计算能力，是全部求极限技巧的主干。第 4 章将在本章基础上做两件事：把"0/0 型"的三角与对数结构提炼成等价无穷小替换，把"0/0 与 ∞/∞"统一交给洛必达法则。再往后，导数的定义式本身就是 0/0 型极限，所以本章的每一种变形手段都会在求导公式的推导里再出现一次。

本文是《微积分 1：函数与极限》第 3 章的知识点摘要。完整板书与例题见 课程页；上一章 极限的定义，下一章 等价无穷小与洛必达法则。